» Mit Eifer hab ich mich der Studien beflissen.

 Zwar weiß ich viel, doch möcht ich alles wissen.«[i]

So rühmt sich Wagner, der Famulus Fausts in der Szene „Nacht“ im ersten Teil von Goethes Faust. Wagner glaubt an den linearen, fortlaufenden Erkenntnisweg der Wissenschaften. Faust hingegen ist vom Zweifel ganz und gar ergriffen. Beide Figuren verkörpern den Widerstreit zwischen Gott und Mephisto um die Seele des Menschen auf der Erdenebene. Im Lichte der Archetypen handelt es sich dabei um das Ringen für ein rechtes Verständnis von Polarität, von Zweiheit, Zweifel und „Zwist“ – der Zahl ZWEI. Zwei Punkte zeichnen eine Linie. Wagner glaubt an die Linearität. Er glaubt daran, durch die Fortführung dieser Linie zur totalen Erkenntnis gelangen zu können.

Der linear angeordnete Zahlenstrahl täuscht uns die Existenz der Linearität vor. Er täuscht uns vor, es gäbe ein nicht endendes Kontinuum, wie wir es hinter dem Begriff der Unendlichkeit stehend, vermuten. Die Vermutung wird vom größten Teil der Menschen geteilt, ist aber falsch. Sie beruht auf einer naiven Verkürzung der Weltsicht. Würde sie zutreffen, so würde sie das Gesetz der Polarität außer Kraft setzen, denn sie nimmt an, es gäbe ein Anfang ohne Ende, wenn das Ende nicht endet. Doch jeder Anfang verlangt ein Ende.

Dennoch stellen wir uns im täglichen Leben und mit praktischem Gewinn einen linearen Zahlenstrahl vor. Durch seine Vorstellung erlernen wir das Rechnen und schaffen es, bis zum Mars und darüber hinaus zu fliegen.

Dass an der Vorstellung jenes Seins etwas nicht stimmt, das erfahren wir erst, wenn wir mit einem Gegenüber in Kontakt kommen, das nicht mehr mit der uns vertrauten Linearität zu begreifen ist. Zu ihnen gehören beispielsweise die scheinbar allgemeinen Begriffe wie Anfang, Ende Funktion, Substanz, Bewusstsein usw. Ihr Verstehen verlangt andere Instrumente als die von der Linearität geprägten, welche bis dahin Geltung hatten.

Mit anderen Worten: Die höhere Dimension lässt sich nicht mit den Parametern der niederen Dimension erfassen. Ein in der Linearität gefangenes Wesen wird ein sich in der Fläche bewegendes Wesen nur sehr lückenhaft verstehen lernen. Den Schlüssel zu der höheren Dimension findet sich im Verstehen der Zahl Drei. Sie überwächst die Linie und entfaltet aus ihr die Fläche.

Die erste Linie entsteht aus zwei Punkten (1—2). Die Vorstellung, man könne die Drei einfach als lineare Verlängerung der Linie 1—2 betrachten, schafft den eigentlichen Irrtum. Die Zahl Drei hat eine verbindende und verbindliche Natur.

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Die hereinbrechende, höhere Dimension lässt sich nicht mit den Parametern der niederen Dimension erfassen. Die Mathematik steht unter ähnlichen Herausforderungen. Indem sie Dinge bezeichnet und sie so formal greifbar macht, kann sie zwar die richtigen Folgewerte errechnen, nicht jedoch deren tieferen Sinn erfassen. Die Fesseln der Sinne liefern formal richtige und doch unzureichende Antworten. Die nebenstehende Abbildung xxx (s. Abb. lineare Antwort)[ii] soll das verdeutlichen. Sie zeigt die Antwort eines naiv-linear denkenden Schülers auf eine mathematische Fragestellung bezüglich der Eigenschaften des pythagoreischen Dreiecks. Das Beispiel bricht die Problematik des Umgangs mit den Dimensionen zwar herunter, wirft aber ein Licht auf ihren Grundgedanken.

Das Rätsel des pythagoreischen Dreiecks, das der naive Schüler richtig beantwortet und doch gründlich missversteht, kann man seinem Prinzip nach auf einer nochmals höheren Stufe des Verstehens wiederholen. Fragt man einen Mathematiker vor dem Hintergrund geometrischer Gleichnisse nach dem Wert, der sich im pythagoreischen Dreieck ergibt, sofern die Werte 3 und 4 in ein rechtes Verhältnis zueinander gesetzt werden, dann wird auch der versierteste Rechner die richtige Antwort schuldig bleiben. Wie der naive Schüler zuvor wird er glauben, die Frage richtig zu beantworten und doch bleibt der Rechner mit seiner Antwort „5“ weit hinter der Weisheit des pythagoreischen Dreiecks zurück. Ein Rechner erfasst nicht die eigentliche Dimension der Frage. Dazu müsste er Kenntnis von den Zahlenqualitäten und deren geometrischen Erscheinungen haben.

Das pythagoreischen Dreiecks der Längen 3-4-5

Was Linearität ist und wie sie fortlaufend neue Dimensionen aufspannt, das symbolisiert uns das einfachste aller Dreiecke, das gleichseitige Dreieck (s. Abb. XXX). An ihm erkennen wir, dass die Linearität, wie wir sie verstehen, mit der Zahl 2 beginnt und zugleich mit ihr endet, denn aus ihr geht unmittelbar eine neue Linearität hervor. Die neue Linearität (I-II)  spannt mit Hilfe der alten (1-2) die neue Dimension der Fläche auf.

Das Dreieck ist der geometrische Ausdruck der Zahl 3. Die 3 verbindet Gegenpole 1 und 2 miteinander. Sie steht für die Bewegung schlechthin und sie ist zugleich das Sinnbild des Geistigen, das sich über die einfache Linearität 1-2 erhebt.

Aus der Bewegung der Drei heraus manifestiert sich die Vier. Sie ist das Symbol für die Substanz (4). Der sich bewegende Geist (3) und die manifeste Substanz (4) bilden in ihrem linearen Gegensatz eine Dimension. In der Dimension des Linienhaften erscheinen sie als die Strecken 3 und 4. Folgt man dem Linienhaften und konstruiert mit Hilfe der Strecke 5 die Verbindung der Linien 3 und 4, so entsteht das Dreieck 3-4-5. Die Linie 5 steht in der Funktion eins verbindenden Dritten und bildet somit die neue Dimension der Fläche. Das so entstandene pythagoreische Dreieck greift die allgemeinen Wirkprinzipien des gleichseitigen Dreiecks auf und entfaltet dessen Wesen – das Wesen der Drei – unter dem Aspekt des Konkreten und Manifesten (4), das unsere Welt charakterisiert. Sein Symbol ist der Archetyp der Vierzahl, sein Wesensmerkmal der rechte Winkel. Wenn die Drei und die Vier unter diesem Aspekt, dem Aspekt der konkreten Substanz miteinander verbunden werden, so geschieht das im rechten Winkel. Mit anderen Worten: Das „rechte Verhältnis“ von 3 und 4 wird durch den von ihnen abgebildeten rechten Winkel konkretisiert.

(Hinweis: s.a. die Beschreibung „Vom gleichseitigen Dreieck zum pythagoreischen Dreieck“  àLink erstellen(3 gleichseit vs pythagor.docx)

Das so entstehende Dreieck besticht zunächst durch die lineare Folge der Zahlen 3-4-5. In der Geschichte der Architektur wurde es deshalb zum universellen Konstruktionselement des rechten Winkels. Tatsächlich aber verbirgt sich in ihm viel mehr, denn es lässt bei genauerer Betrachtung sogar die Linearität der Zahlen 1 bis 6 aufscheinen. Dabei verbindet es drei Betrachtungsebenen miteinander, den Kreis als Ursprung (1, 2), die Linie als einschränkende Linearität (3, 4, 5) und die Fläche als dritte und höchste Dimension (6).

Das Dreieck 3-4-5 zeichnet uns eine zweidimensionale geometrische Figur, bei der alle geraden, begrenzenden Linien durch ganze Zahlen erfasst werden. Das entspricht unserer allgemeinen, vom Zahlenstrahl geprägten, linearen Vorstellung von der Welt. Sie vermittelt uns ein Kontinuitätsprinzip, nach der die Natur keine Sprünge macht.[iii] Jener Linearität verdanken wir unseren rationalen Verstand. Der funktioniert bis zu dem Punkt, an dem er uns unmissverständlich zeigt, dass er nur ein Teil des Ganzen ist, das wir zu verstehen trachten. Unser rationaler Verstand versagt in der Dimension, die wir ihm zugeordnet hatten. Über die alte Dimension der Linearität schleicht sich aber eine neue ein. Sie konfrontiert uns mit dem Bruch in der Linearität.

Für diesen Sachverhalt steht das Gleichnis des Dreiecks 3-4-5. Es beschreibt ein universelles Muster und wurde deshalb zum Mittelpunkt des Pyramidenbaues*, zum richtungsweisenden Dreieck des Salomonischen Tempels** und zum Vorbild der Relation von Raum und Zeit in der Relativitätstheorie.[iv] Betrachten wir dieses urbildliche Dreieck in Hinblick auf die Linearität 1 bis 6, so entdecken wir in ihm die Sprünge, die uns bis dahin verborgen geblieben waren. Es handelt sich um die Dimensionssprünge vom Kreis zu den geraden Linien des Dreiecks und von diesen zur Fläche 6.

Das Bild des pythagoreischen Dreiecks der Längen 3-4-5 ist ein geometrisches Gleichnis für die Übergänge der Dimensionen und ihren Bedingungen. So erlöst sich der Widerspruch zwischen den beiden Aspekten der linearen Dimension (3 und 4) mittels der sie verbindenden Hypotenuse (5) und bringt die neue Dimension der Fläche (6) hervor. Das Neue hat zwei bemerkenswerte und für die Sechszahl charakteristische Eigenschaften. Zum einen ist es aus der Sicht der ersten Dimension heraus ein Andersartiges und rational kaum Vorstellbares. Es markiert die Grenze zwischen dem rational Vorstellbaren und Unvorstellbaren und führt so über die ursprüngliche Dimension hinaus. Zum anderen drückt sich dieses Andersartige doch wieder mit den uns bekannten Parametern, den ganzen Zahlen aus und erweitert unser Bild von Linearität (3-4-5-6).

Das ist nicht zufällig so sondern begründet sich in der Qualität der Zahl 6. Die Existenz des Widerspruchs einerseits und das Zusammenfallen von Gegensätzen andererseits kennzeichnen den Dimensionssprung. Die 6 tut dies in der Welt von Geist (3), Materie (4) und wahrnehmenden Subjekt (5). Das pythagoreische Dreieck setzt alle diese Größen in ihren Beziehungen zueinander ins Bild und fordert uns heraus, die bisherige Vorstellung von den Zahlen und ihrer rein zählenden Folge zu erweitern. Dieses besondere Dreieck zeigt uns, dass die Zahlen zwar nach wie vor die Basis unserer Betrachtung sind, man sie aber nicht mehr allein in der linearen Weise betrachten kann wie zuvor. Das Andersartige und „Zweite“ tritt in der Form des Bruchs von Linearität in Erscheinung, in der das  Zusammenwirken der Gegensätze zum Maßstab wird.

Die Botschaft des pythagoreischen Dreiecks verlangt eine neue Sichtweise auf die Linearität, die bereits mit der Zahl 2 beginnt. Die Zahl Zwei ist nicht mehr nur als die der 1 linear folgende Zwei zu verstehen. Sie ist mehr. Sie drückt hinzukommend auch noch die Qualität des Selbstbezuges, die Qualität des Quadratischen aus, die uns vorher noch verborgen war. Mit diesem Wissen können wir nun auch den Ursprung[v] des Ganzen im Inneren des Dreiecks verstehen. Es ist der Einheitskreis, der das Quadrat mit der Fläche 2 einschließt! Das ist deshalb bemerkenswert, da wir wissen, dass es die sogenannte „Quadratur des Kreises“[vi] nicht gibt und doch erscheint hier die archetypische Verbindung von Einheitskreis und dem Quadrat der Größe zwei. Wenn wir an der Linearität der Parameter (z.B. Linie oder Fläche) wie ihn uns der Zahlenstrahl rechnend vor Augen führt, festhalten, können wir den wahren Zusammenhang nicht erkennen. Den vermögen wir nur über die sich hier offenbarende Qualität des „Archetyps Zwei“ zu erkennen. Der zuvor schon offenbarte Übergang der Dimension der Linie (3-4-5) zur Dimension der Fläche (6) findet sich in seiner Anlage bereits im Ursprung des Dreiecks, dem Einheitskreis. Was er vorgibt, entfaltet sich sodann im rechtwinkligen Dreieck. Dort wird es zur lesbaren Botschaft: 

Das pythagoreische Dreieck 3-4-5-6 verrät uns den Sinn und die Grenzen der Linearität. Am Beispiel der Beziehung von Geist (3) und Materie (4) – alias der Bewegung (3) und der manifesten Substanz (4), den Rahmenbedingungen unseres „in-der Welt-seins“ – erfahren wir etwas über die Voraussetzungen unseres Bewusstseins (5) und die möglichen Täuschungen, die von diesen sogenannten Rahmenbedingungen ausgehen.

Das Dreieck ist ein geometrisches Gleichnis. Sein Geheimnis ist das der Linearität und somit das der Urbeziehung 1—2 die es auf mehrfache Weise ins Bild setzt. Das Dreieck 3-4-5 ist in der Folge der Dreiecke ein Zweites und somit besonderes Dreieck, denn ihm geht das allgemeine, gleichseitige Dreieck voraus (s. Abb. xxy). In ihm erfahren wir in der Sprache unserer Welt und ihren Parametern von Geist (3), Materie (4) und Bewusstsein (5) Genaueres über ihre eigenartige Verfasstheit, die von der Polarität (2) geprägt ist. Der Zwiespalt an sich eröffnet in diesem zweiten Dreieck seinen Sinn und stellt dabei vor allem auch das Subjekt (5) als ein Anderes und Zweites gegenüber dem göttlichen Ganzen (1) in eine ganzheitliche Ordnung.

Das Subjekt überschaut die Ordnung der Dimensionen. Es ist in der Lage, das „völlig Andere“ (2) im vollen Wortsinn ganzheitlich, d.h. auf das Ganze (1) bezogen, zu denken. Das Subjekt welches sich des wahren Wesens die Zweiheit bewusst wird, das richtet sein Bewusstsein nicht mehr primär auf den Mangel. Das sich auf diese Weise selbst erkennende Bewusstsein vermag auch das andere zu denken, das die eigene, beschränkte Existenz überschreitet. Nicht anders ist es zu erklären, dass das aus der Substanz hervorgehende, endliche Gehirn das dem Geist zuzuordnende Unendliche zu denken vermag!

s.a. Aufsätze: (teilweise noch zu erstellen)

• Die Zwei, das Andere und seine zweifache Erscheinung (2 – das Zweifache.doc
• Die Abraham-Formel 1-2 …
• Das Rätsel der Sphinx und das pythagoreische Dreieck 3-4-5
• Der Salomonischen Tempel

[i] Wo liegt das Missverständnis? Der Famulus (namens Wagner) bittet seinen Meister Faust um etwas, was dieser nicht liefern kann. Beide sind in der Linearität gefangen. Doch Faust ahnt dies. Wagner hingegen möchte den Weg seiner linearen Erkenntnis aber einfach nur „zu Ende gehen“. Das aber ist nicht möglich, denn es gibt aus der Sicht der höchsten philosophischen Erkenntnis kein Anfang und kein Ende. Das „Alles“ des Wagners ist eine Illusion. Es geht zunächst um das Unterscheiden von Ebenen im Sinne von Dimensionen. Anschließend geht es darum, die Bedingungen des Ebenenwechsel zu begreifen und schließlich darum, diesen Wechsel selbst zu vollziehen.

[ii] Das Beispiel habe ich einem You Tube Video von Taschner entnommen. Dort stellt er die Hintergründe des Pythagoreischen Dreiecks aus einer linear-mathematischen Sicht dar und bewertet die Antwort des Schülers deshalb auch  als „höchst kreativ“ (nicht zynisch ausgesagt). Tatsächlich ist die Antwort aus der Perspektive eines Bildrätsels richtig. Die in der Prüfungssituation vorausgesetzte Dimension jedoch erreicht den Schüler nicht. Sie würde ihn auch nicht erreichen, wenn er sich zum Experten für Bilderrätsel fortbildet. Eine Lösung ist nur möglich, sofern er einen Dimensionswechsel für möglich hält und seine Voraussetzungen hinterfragt. Erst mit deren Klärung kann er einen neuen, erfolgreichen Lösungsversuch starten.

[iii]  Die Annahme von Kontinuität ist eben so notwendig wie die Zahlen für das rationale Erfassen der Welt. Das Kontinuitätsprinzip lässt sich bis tief in die antike Philosophie zurückverfolgen. Dort ist es jedoch noch in einen letzten und höchsten Zusammenhang, eingebettet, der von der Einheit in aller Vielheit ausgeht und endlich auch das Gegenteil von Kontinuität zulässt.

Die zunehmend naturwissenschaftliche Sicht ließ den großen Rahmen vergessen und das Kontinuitätsprinzip erlangte den zweifelhaften Rang eines ewigen Naturgesetzes. Bei Spinoza gipfelt dieser Gedanke in dem Satz „In der Natur gibt es keinen Zufall“ (in rerum natura nullum datur contingens). Dabei vertritt Spinoza einen Pantheismus in dem nichts von Gott geschieden ist. Gott (1) ist in allem Seienden (4). „Alles ist Gott“ (pan: alles,  theos: Gott). Danach aber äußert sich Gott auch im Gegenteil, also auch im Bruch der Dinge! Auf der Basis entstanden schon die Philosophien von Platon und Aristoteles. Spinoza greift sie einerseits wieder auf. Andererseits treibt der Irrtum um die Kontinuität dennoch auf seinen Kulminationspunkt zu und begründet den engführenden, sogenannten deterministischen Pantheismus. Einstein war von ihm beeindruckt und entwickelte in ihm seine Vorstellung von der einheitlichen Feldtheorie und seine Kritik an der Quantenphysik (Einstein: „Gott würfelt nicht“). Wir wissen heute: Einstein irrte. Die Welt existiert erst durch den Bruch. Wir verstehen Gott und die Welt erst, wenn wir den Bruch verstehen lernen.

[iv] Beachte: Die in der Relativitätstheorie von Einstein definierte, sogenannte Raum-Zeit-Formel  (Raum² + Zeit² = Raumzeit²) ist eine unmittelbare Anwendung des pythagoreischen Lehrsatzes, wie ihn das Dreieck mit den Seiten 3-4-5 zeigt.

[v] Der Begriff des Ursprungs verbirgt eine erste, heftige Bewegung (3). Das Erste und Ur-Eine (1) gibt sich als eine Bewegung (3) zu erkennen (1⏏3). Es ist ein „Sprung“, .d.h. eine heftige Bewegung in eine andere Ebene (II) hinein. Diese erste Bewegung ist versteht sich als der „Durchbruch“ ins „Werden“ hinein. Das Werden ist ein „Brechen“. In dieser Art Bruch wird das Wesen der Zweizahl erhöht.

[vi] Es lässt sich kein Quadrat aus einem gegebenen Kreis mit dem gleichen Flächeninhalt konstruieren.